جواب فعالیت صفحه 20 فصل دوم ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: **سوال ۱: مرتب‌سازی کسرها** * **روش شاهد (محور اعداد):** این روش برای مقایسه‌ی تقریبی مناسب است، اما برای کسرهای نزدیک به هم مانند $ \frac{۵}{۶} $ و $ \frac{۷}{۸} $ دقت کافی را ندارد و ممکن است به اشتباه منجر شود. این روش برای مقایسه‌ی دقیق توصیه نمی‌شود. * **روش مرتضی (مخرج مشترک):** این روش یک راه دقیق و مطمئن برای مقایسه است. کوچکترین مخرج مشترک برای مخرج‌های ۵، ۶، ۸ و ۹ عدد ۳۶۰ است. کسرها را هم‌مخرج می‌کنیم: * $ \frac{۳}{۵} = \frac{۳ \times ۷۲}{۵ \times ۷۲} = \frac{۲۱۶}{۳۶۰} $ * $ \frac{۵}{۶} = \frac{۵ \times ۶۰}{۶ \times ۶۰} = \frac{۳۰۰}{۳۶۰} $ * $ \frac{۷}{۸} = \frac{۷ \times ۴۵}{۸ \times ۴۵} = \frac{۳۱۵}{۳۶۰} $ * $ \frac{۵}{۹} = \frac{۵ \times ۴۰}{۹ \times ۴۰} = \frac{۲۰۰}{۳۶۰} $ با مقایسه‌ی صورت‌ها ($ ۲۰۰ < ۲۱۶ < ۳۰۰ < ۳۱۵ $)، ترتیب کسرها از کوچک به بزرگ به دست می‌آید: $ \frac{۵}{۹} < \frac{۳}{۵} < \frac{۵}{۶} < \frac{۷}{۸} $ * **روش مجید (تبدیل به اعشار):** این روش نیز دقیق و سریع است، به‌خصوص با استفاده از ماشین حساب. * $ \frac{۳}{۵} = ۰.۶ $ * $ \frac{۵}{۶} = ۰.۸۳۳... $ * $ \frac{۷}{۸} = ۰.۸۷۵ $ * $ \frac{۵}{۹} = ۰.۵۵۵... $ با مقایسه‌ی اعداد اعشاری ($ ۰.۵۵۵... < ۰.۶ < ۰.۸۳۳... < ۰.۸۷۵ $)، به همان ترتیب بالا می‌رسیم. --- **سوال ۲: نمایش اعشاری کسرها** با انجام عمل تقسیم صورت بر مخرج، نمایش اعشاری را می‌نویسیم: * $ \frac{۷}{۶} = ۱.۱۶۶۶... = ۱.۱\bar{۶} $ * $ \frac{۱}{۳} = ۰.۳۳۳۳... = ۰.\bar{۳} $ * $ \frac{۳}{۸} = ۰.۳۷۵ $ **الف) تفاوت بین نمایش‌های اعشاری:** تفاوت اصلی این است که برخی کسرها **نمایش اعشاری مختوم (پایان‌پذیر)** دارند، در حالی که برخی دیگر **نمایش اعشاری متناوب (تکراری)** دارند. * **مختوم:** کسری مانند $ \frac{۳}{۸} $ نمایش اعشاری مختوم دارد، زیرا پس از چند رقم، باقیمانده‌ی تقسیم صفر می‌شود. این اتفاق زمانی می‌افتد که مخرج کسر ساده‌شده فقط از شمارنده‌های اول ۲ و ۵ تشکیل شده باشد ($۸ = ۲^۳$). * **متناوب:** کسرهایی مانند $ \frac{۱}{۳} $ و $ \frac{۷}{۶} $ نمایش اعشاری متناوب دارند، زیرا در فرآیند تقسیم، یک یا چند رقم در خارج قسمت به طور نامحدود تکرار می‌شوند. این اتفاق زمانی می‌افتد که مخرج کسر ساده‌شده، شمارنده‌ی اولی غیر از ۲ و ۵ داشته باشد (مانند ۳).